Né en 1971 à Riga, il fait ses études à l’Académie de culture de Lettonie, où il obtient son diplôme de metteur en scène de théâtre et de cinéma en 1997, avant de commencer à travailler comme metteur en scène attitré au Nouveau théâtre de Riga. Ses mises en scène sont présentées dans divers festivals internationaux, notamment au Festival de Vienne (Hotel Europa), au Théâtre Hebbel (Le Serpent), au Festival d’Avignon (Hotel Europa) et à la Biennale de Bonn (Le cerf noir, Hotel Europa).
Kairišs fait ses débuts en tant que metteur en scène d’opéra avec Eugène Onéguine de Piotr Tchaïkovski à l’Opéra national de Lettonie, production pour laquelle il reçoit le Grand Prix de la Musique en 1999. Peu après, en 2001, il met en scène La Flûte Enchantée de Mozart à l’Opéra national de Lettonie, qui sera ensuite adaptée en court-métrage artistique et projetée lors de la 42e biennale de Venise.
En 2007, avec sa mise en scène de l’opéra La Walkyrie de Wagner, il rejoint le projet de mise en scène de la tétralogie L’Anneau du Nibelung à l’Opéra National de Lettonie. Kairišs met en scène les trois derniers opéras du cycle, qui sont salués par la critique dans d’éminentes revues musicales et d’opéra.
Dans le même temps, sa mise en scène du Songe d’une Nuit d’Été de Benjamin Britten à l’Opéra-Comique de Berlin est décrite par le Financial Times comme « une contribution respectable à la tradition florissante de Britten en Allemagne » et reçoit de nombreuses autres critiques élogieuses. Depuis lors, ses opéras sont également montés à l’Opéra de Cologne et au Théâtre d’État de Darmstadt, où ils sont également bien accueillis par la critique. En 2020, Kairišs devient directeur artistique du Théâtre Dailes.